પ્લેનનું સમીકરણ: કંપોઝ કેવી રીતે કરવું? પ્લેન સમીકરણોના પ્રકાર

વિમાન જગ્યા અલગ અલગ રીતે (એક ટપકું અને વેક્ટર, વેક્ટર અને બે પોઇન્ટ, ત્રણ બિંદુઓ, વગેરે) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. તે આ મન સાથે, વિમાન સમીકરણ વિવિધ પ્રકારના હોઈ શકે છે. પણ અમુક ચોક્કસ શરતો હેઠળ વિમાન હોઈ શકે સમાંતર કાટખૂણે, ને છેદે છે, વગેરે આ અને આ લેખમાં વાત થશે. અમે વિમાન અને માત્ર સામાન્ય સમીકરણ બનાવવા માટે શીખશે.

સમીકરણની સામાન્ય સ્વરૂપ

ધારો કે આર જગ્યા _3, ધરાવે છે, જે એક લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ XYZ છે. અમે એક વેક્ટર α, જે વેક્ટર α અંત મારફતે પ્રારંભ બિંદુ ઓ થી પ્રકાશિત કરવામાં આવશે વિમાન પી જે તે કાટખૂણે છે ડ્રો વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

એક મનસ્વી બિંદુ Q = (x, y, z) ખાતે પી નિદર્શન કરે છે. બિંદુ ક્યૂ નિશાની અક્ષર પી ત્રિજ્યા વેક્ટર. વેક્ટર લંબાઈ α p = IαI અને ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) સમકક્ષ હોય છે.

આ એકમ વેક્ટર, વેક્ટર α તરીકે દિશામાં નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે. α, β અને γ - ખૂણા કે વેક્ટર અને હકારાત્મક દિશાઓ વચ્ચેના રચાય છે ʋ જગ્યા સીમાની x, y, અનુક્રમે z છે. પર વેક્ટર QεP ʋ એક બિંદુ ઓફ પ્રક્ષેપણ સતત જે પી (P, ʋ) = પી (r≥0 સમાન) છે.

ઉપર સમીકરણ ત્યારે પી = 0 અર્થપૂર્ણ છે. આ કિસ્સામાં માત્ર એ વિમાન, પાર કરશે બિંદુ ઓ (α = 0), જે મૂળ છે, અને એકમ વેક્ટર ʋ બિંદુ 'O' થી પ્રકાશિત, પી કાટખૂણે હશે જોકે તેની દિશા, એટલે કે વેક્ટર ʋ નક્કી સાઇન સુધી. ગત સમીકરણ અમારા પ્લેન પી છે, વેક્ટર સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી હતી. પરંતુ તેની કોઓર્ડિનેટ્સ દૃશ્ય છે:

પી કરતાં વધારે અથવા બરાબર 0. માટે અમે સામાન્ય સ્વરૂપ વિમાન સમીકરણ મળી છે.

સામાન્ય સમીકરણ

કોઓર્ડિનેટ્સ માં સમીકરણ કોઈપણ નંબર છે કે જે શૂન્ય સમાન નથી દ્વારા મલ્ટીપ્લાય, તો અમે આ સમીકરણ સમકક્ષ તે ખૂબ જ વિમાન વ્યાખ્યાયિત મેળવે છે. તે નીચે ફોર્મ હશે:

અહીં, એ, બી, સી - શૂન્ય અલગ એકસાથે સંખ્યા છે. આ સમીકરણ વિમાન સામાન્ય સ્વરૂપ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

વિમાનોની સમીકરણો નથી. વિશેષ કિસ્સાઓ

સમીકરણ સામાન્ય વધારાના શરતો સાથે સુધારી શકાય છે. તેમાંના કેટલાક વિચાર કરો.

ધારો કે ગુણાંક એક 0. છે આ સૂચવે છે કે પૂર્વનિર્ધારિત ધરી બળદ માટે પ્લેન સમાંતર. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ ફોર્મ ફેરફારો: વુ + Cz + d = 0.

એ જ રીતે, સમીકરણ સ્વરૂપમાં અને નીચેના શરતો સાથે અલગ પડશે:

• પ્રથમ, જો બી = 0, એક્સ + Cz + d = 0 સમીકરણ ફેરફારો છે, કે જે ધરી ઓવાય કર્યું સમાંતરણ નકારીને.
• બીજું, જો C = 0, સમીકરણ કુહાડી આના દ્વારા + d = 0 માં રૂપાંતરિત છે, કે પૂર્વનિર્ધારિત ધરી ઓઝ સમાંતર વિશે શું કહે છે.
• ત્રીજું, જો D = 0, સમીકરણ તરીકે એક્સ આના દ્વારા + Cz = 0, કે જે અર્થ એમ થશે કે વિમાન કાપે ઓ (મૂળ) દેખાશે.
• ચોથી, જો A = B = 0, CZ + d = 0 સમીકરણ ફેરફારો, જે ઓક્સી સમાંતરણ સાબિત થશે.
• ફિફ્થ, જો B = C = 0, સમીકરણ એક્સ + d = 0, જેનો અર્થ છે કે આ વિમાન Oyz સમાંતર બને છે.
• Sixthly, એ = C = 0, સમીકરણ ફોર્મ વુ + d = 0, લે તો એટલે કે, સમાંતરણ Oxz તેની જાણ કરીશું.

સેગમેન્ટમાં સમીકરણ ફોર્મ

કિસ્સામાં જ્યાં નંબરો A, B, C, D શૂન્ય અલગ, સમીકરણ ફોર્મ (0) નીચે પ્રમાણે હોઈ શકે છે:

X / A + વાય / b + Z / સી = 1,

જેમાં એક = -D / A, B = -D / B, C = -D / સી

અમે ટુકડાઓ વિમાન પરિણામે સમીકરણ તરીકે મેળવે છે. એ નોંધવું જોઇએ કે આ વિમાન કોઓર્ડિનેટ્સ (એક 0,0), ઓય સાથે બિંદુએ x- અક્ષ છેદાય કરશે - (0, બી 0), અને ઓઝ - (0,0, ઓ).

આપેલ સમીકરણ X / A + વાય / b + Z / સી = 1, તે એક પૂર્વનિર્ધારિત સંકલન સિસ્ટમ માટે પ્લેસમેન્ટ વિમાન સંબંધિત વિઝ્યુઅલાઈઝ મુશ્કેલ નથી.

સામાન્ય વેક્ટર ના કોઓર્ડિનેટ્સ

વિમાન પી માટે સામાન્ય વેક્ટર એન કોઓર્ડિનેટ્સ કે વિમાન સામાન્ય સમીકરણ, એટલે એ (A, B, C) સહગુણાંકો હોય છે.

ક્રમમાં સામાન્ય n ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે, તે પ્લેન આપવામાં સામાન્ય સમીકરણ ખબર પણ પૂરતું છે.

સેગમેન્ટમાં સમીકરણ છે, જેમાં ઉપયોગ કરતી વખતે ફોર્મ X / A + વાય / b + Z / સી = 1, જ્યારે સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ સામાન્ય વેક્ટર ના કોઓર્ડિનેટ્સ લખી શકાય આપેલ વિમાન: (1 / A + 1 / બી + 1 / c).

તે મદદ સામાન્ય વેક્ટર વિવિધ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે એ નોંધવું જોઈએ. સૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓ, સાબિતી કાટખૂણે અથવા સમાંતર પ્લેનમાં સમાવેશ કરવામાં આવે વિમાનો અથવા વિમાનો અને સીધી રેખા વચ્ચેના ખૂણા વચ્ચેના ખૂણા શોધવાની કાર્ય.

વિમાન સમીકરણ અને બિંદુ સામાન્ય વેક્ટર ના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર લખો

એક નોનઝીરો વેક્ટર એન, આપેલ વિમાન કાટખૂણે, એક પૂર્વનિર્ધારિત પ્લેનમાં સામાન્ય (સામાન્ય) કહેવામાં આવે છે.

ધારો કે સંકલન જગ્યા (એક લંબચોરસ સંકલન વ્યવસ્થામાં) Oxyz સેટ કરો:

• કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે Mₒ બિંદુ (hₒ, uₒ, zₒ);
• શૂન્ય વેક્ટર એન = A * હું + B * J + C * કે.

તમે વિમાન સામાન્ય n કાટખૂણે Mₒ બિંદુ પસાર સમીકરણથી બનાવવા માટે જરૂર છે.

અવકાશમાં અમે કોઈપણ મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરો અને એમ (x, y, z) નિદર્શન કરે છે. ચાલો કોઈપણ બિંદુએ એમ (x, y, z) ત્રિજ્યા વેક્ટર r = x * હું + Y * J + Z * K, અને બિંદુ Mₒ ત્રિજ્યા વેક્ટર (uₒ, hₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * હું uₒ + * J + zₒ * કે. બિંદુ એમ આપેલ વિમાન સંબંધ હશે, તો વેક્ટર MₒM વેક્ટર એન કાટખૂણે હોય. અમે scalar ઉત્પાદન મદદથી orthogonality સ્થિતિ લખો:

[MₒM, એન] = 0.

MₒM = R-rₒ ત્યારથી, વિમાન ની વેક્ટર સમીકરણ આના જેવો દેખાશે:

[આર - rₒ, એન] = 0.

આ સમીકરણ પણ અન્ય આકાર હોઈ શકે છે. આ હેતુ માટે, scalar ઉત્પાદન ગુણધર્મો, અને સમીકરણની ડાબી બાજુ રૂપાંતરીત કર્યા હતા. [આર - rₒ, એન] = [r, n] - [rₒ, એન]. [Rₒ, એન] s તરીકે સૂચિત તો, અમે નીચેના સમીકરણ મેળવવા: [r, n] - એક = 0 અથવા [r, n] = એસ, કે જે આપેલ પોઇન્ટ્સ કે વિમાન સંબંધ ત્રિજ્યા-વેક્ટર્સ સામાન્ય વેક્ટર પર અંદાજો ની સ્થિરતા વ્યક્ત કરે છે.

હવે તમે કોઓર્ડિનેટ પ્રકાર રેકોર્ડિંગ વિમાન અમારા વેક્ટર સમીકરણ મળી શકે [r - rₒ, એન] = 0. ત્યારથી R-rₒ = (એક્સ-hₒ) * હું + (વાય-uₒ) * J + (ઝેડ zₒ) * K, અને એ = A * હું + B * J + C * K, અમે હોય છે:

તે બહાર વળે અમે સમીકરણ વિમાન સામાન્ય n કાટખૂણે બિંદુ પસાર રચાયેલી છે છે:

A * (x hₒ) + B * (વાય uₒ) એસ * (ઝેડ zₒ) = 0.

વિમાન સમીકરણ અને વેક્ટર વિમાન સમરેખ બે બિન્દુઓમાંથી કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર લખો

અમે બે મનસ્વી પોઈન્ટ એમ '(X', વાય ', Z') અને M "(X", વાય ", Z"), તેમજ વેક્ટર (એક ', એક ", એક ‴) વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

હવે અમે સમીકરણ પૂર્વનિર્ધારિત સમતલ, જે વર્તમાન બિંદુ એમ 'અને એમ "પસાર થાય છે, અને કોઓર્ડિનેટ્સ એમ (x, y, z) આપેલ વેક્ટર સમાંતર સાથે દરેક બિંદુ લખી શકો છો.

આમ M'M વેક્ટર્સ X = {X ', વાય-વાય'; ZZ '} અને M "એમ = {x" -x, વાય' વાય '; z "-z'} વેક્ટર સાથે coplanar હોવી જોઈએ એક = (એક ', એક ", એક ‴), જેનો અર્થ થાય છે કે (M'M એમ" એમ, એક) = 0.

તેથી જગ્યા સમતલ અમારી સમીકરણ આના જેવો દેખાશે:

વિમાન સમીકરણ પ્રકાર, ત્રણ પોઇન્ટ પાર

માતાનો અમે ત્રણ પોઇન્ટ છે કહે દો: (x 'વાય', Z '), (એક્સ', વાય ', Z'), (એક્સ ‴ હેવ ‴, Z ‴), જે સમાન લીટી અનુસરે નથી. તે વિમાન ત્રણ પોઇન્ટ સ્પષ્ટ પસાર સમીકરણ લખવા માટે જરૂરી છે. ભૂમિતિ સિદ્ધાંત દલીલ કરે છે કે આ વિમાન આ પ્રકારની અસ્તિત્વમાં નથી, તે માત્ર એક અને માત્ર છે. જ્યારથી આ વિમાન બિંદુ કાપે (X ', વાય', Z '), તેના સમીકરણ ફોર્મ હશે:

અહીં, એ, બી, અને સી તે જ સમયે શૂન્ય અલગ હોય છે. પણ અહીં આપેલ વિમાન વધુ બે પોઈન્ટ કાપે (x ", Y", Z ") અને (x ‴, વાય ‴, Z ‴). આ જોડાણ શરતોમાંથી આ પ્રકારની હાથ ધરવામાં જોઈએ:

હવે અમે એક સમાન સિસ્ટમ બનાવી શકો છો સમીકરણો (રેખીય) ની અજ્ઞાત U, V, ડબલ્યુ સાથે:

અમારા કિસ્સામાં એક્સ, વાય અથવા z મનસ્વી એક મુદ્દો છે જેમાં સમીકરણ (1) સંતોષે છે. (1) સમીકરણ અને સમીકરણો (2) અને (3) ઉપરના આકૃતિ સૂચવ્યું સમીકરણો સિસ્ટમનું સિસ્ટમ ધ્યાનમાં વેક્ટર સંતોષ એન (A, B, C) જે nontrivial છે. તે છે, કારણ કે સિસ્ટમ નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

સમીકરણ (1) કે અમે મળી છે, તો આ વિમાન ના સમીકરણ છે. 3 બિંદુ તે ખરેખર જાય છે, અને તે ચેક કરવા સરળ છે. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ હરોળમાં તત્વો દ્વારા નિર્ણાયક વિસ્તૃત. હાલના ગુણધર્મો નિર્ણાયક અનુસરે છે અમારા પ્લેન સાથે ત્રણ મૂળભૂત રીતે પૂર્વનિર્ધારિત બિંદુ કાપે (X ', વાય', Z '), (એક્સ ", વાય", Z "), (એક્સ ‴, વાય ‴, Z ‴). તેથી અમે અમારી સામે કાર્ય કરવાનો નિર્ણય કર્યો.

વિમાનો વચ્ચે સમઘનમાં કોણ

સમઘનમાં કોણ એક અવકાશી ભૌમિતિક આકાર બે સાવકા વિમાનો કે એક સીધી રેખા નીકળવું દ્વારા રચાયેલી છે. અન્ય શબ્દોમાં, જગ્યા કે જે અડધા વિમાનો માટે મર્યાદિત છે ભાગ છે.

ધારો કે અમે નીચેના સમીકરણો સાથે બે પ્લેન છે:

અમે જાણીએ છીએ કે વેક્ટર એન = (A, B, C) અને N¹ = (A¹, H¹, S¹) પૂર્વનિર્ધારિત વિમાનો અનુસાર કાટખૂણે હોય છે. આ સંદર્ભે, વેક્ટર્સ એન અને N¹ સમાન ખૂણો (સમઘનમાં), જે આ વિમાનો વચ્ચે સ્થિત થયેલ છે વચ્ચે φ કોણ. scalar ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે:

NN¹ = | એન || N¹ | બરડ φ,

ચોક્કસપણે કારણ કે

cosφ = NN¹ / | એન || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

તે 0≤φ≤π ધ્યાનમાં માટે પર્યાપ્ત છે.

વાસ્તવમાં બે વિમાનો કે છેદાય, ફોર્મ બે કોણ (સમઘનમાં): φ ₁ અને φ _2. તેમની રકમ એન સુધી (φ ₁ + φ ₂ = π) સમાન છે. તેમના cosines માટે, તેમના નિરપેક્ષ મૂલ્યો, સમાન હોય છે, પરંતુ તેઓ અલગ અલગ ચિહ્નો હોય છે, એટલે કે બરડ φ ₁ = -cos φ _2. સમીકરણમાં (0) એ, બી અને -a, -B ના સી અને -C અનુક્રમે સમીકરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો અમે મેળવવા, એ જ પ્લેન માત્ર ખૂણો સમીકરણ બરડ φ માં φ નક્કી કરશે, = NN ¹ / | એન || એન ¹ | તે π-φ દ્વારા બદલવામાં આવશે.

કાટખૂણે વિમાન સમીકરણથી

વિમાન કાટખૂણે કહેવાય, જે વચ્ચે કોણ 90 ડિગ્રી હોય છે. ઉપર પ્રસ્તુત સામગ્રીનો ઉપયોગ, અમે અન્ય કાટખૂણે પ્લેન સમીકરણથી શોધી શકો છો. ધારો કે આપણે બે વિમાનો છે: એક્સ આના દ્વારા + Cz + d = 0, અને + A¹h V¹u S¹z + + d = 0. આપણે એમ કહી શકીએ કે તેઓ ઓર્થોગોનલ હોય તો બરડ = 0. આ NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 થાય છે.

એક સમાંતર વિમાન સમીકરણથી

તે બે સમાંતર વિમાનો કે જે સામાન્ય કોઈ પોઈન્ટ સમાવી ઓળખવામાં આવે છે.

શરત સમાંતર વિમાનો (તેમના સમીકરણો અગાઉના ફકરો તરીકે જ છે) એ છે કે વેક્ટર્સ એન અને N¹, જે તેમને કાટખૂણે હોય છે સમરેખ. આનો અર્થ એ થાય કે તે નીચેની શરતોને proportionality મળ્યા કરવામાં આવે છે:

એ / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

પ્રમાણસર શરતો વિસ્તરી છે, તો - એ / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

આ જ માહિતી વિમાન સૂચવે છે. આનો અર્થ એ કે સમીકરણ કુહાડી આના દ્વારા + Cz + d = 0 અને + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 એક વિમાન વર્ણવે છે.

પ્લેનમાં બિંદુ પરથી અંતર

ધારો કે આપણે પ્લેન પી, જેમાં (0) દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ પરથી અંતર શોધવા માટે જરૂરી છે (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , તમે તેને બનાવવા માટે વિમાન બીજા સામાન્ય દેખાવ સમીકરણ લાવવા જરૂર છે:

(Ρ વી) પી (r≥0) =.

આ કિસ્સામાં, ρ (x, y, z) અમારા બિંદુ ક્યૂ, એન પી પર સ્થિત ત્રિજ્યા વેક્ટર છે - એ લંબ છે, જે શૂન્ય બિંદુ પરથી રિલિઝ કરવામાં આવ્યું હતું લંબાઈ છે, વી - એકમ વેક્ટર, જે દિશા ગોઠવાય છે.

તફાવત ρ-ρº એક બિંદુ ક્યૂ = (x, y, z), પી દ્વારા માલિકીની ત્રિજ્યા વેક્ટર અને આપેલ બિંદુ ત્રિજ્યા વેક્ટર ક્યૂ ₀ = (uₒ hₒ, zₒ) વેક્ટર, જે પર પ્રક્ષેપણ ચોક્કસ મૂલ્ય છે વી બરાબર અંતર ડી, જે પ્ર થી શોધવા માટે જરૂરી છે = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) પી છે:

D = | (ρ-ρ ^0, v) | પરંતુ

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, વી ) - (ρ ^0, v) = પી (ρ ^0, v).

તેથી તે બહાર વળે,

D = | (ρ ^0, v) પી |.

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યૂ વિમાન પી ₀ થી અંતર ડી ગણતરી, તે સામાન્ય દૃશ્ય વિમાન સમીકરણનો ઉપયોગ કરવા માટે જરૂરી છે, પૃ ડાબી તરફ સ્થળાંતરઃ, અને એક્સ, વાય છેલ્લા સ્થળ, Z અવેજી (hₒ, uₒ, zₒ).

આમ, આપણે પરિણામી અભિવ્યક્તિ કે જરૂરી છે ડી નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં શોધી શકો છો.

ભાષાની પરિમાણો ઉપયોગ કરીને, અમે સ્પષ્ટ મેળવો:

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

જો ઉલ્લેખિત બિંદુ ક્યૂ ₀ વેક્ટર વચ્ચે મૂળ તરીકે વિમાન પી બીજી બાજુ પર હોય તો ρ-ρ ⁰ અને વિ , એક ગુરુકોણ આમ:

D = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

કેસ જ્યારે બિંદુ ક્યૂ ₀ યુ એક જ બાજુએ સ્થિત મૂળના સાથે જોડાણમાં, તીવ્ર કોણ બનાવવામાં આવે છે, એટલે કે:

ડી = (ρ-ρ ^0, v) પી = - (ρ ^0, વી)> 0.

પરિણામ એ છે કે ભૂતપૂર્વ કેસ (ρ ^0, વી)> પી, બીજા (ρ ^0, વી)

અને તેની સ્પર્શજ્યાની વિમાન સમીકરણ

tangency Mº સમયે સપાટી પર પ્લેન કન્સર્નિંગ - એક વિમાન વળાંક સપાટી પર તે બિંદુ દોરવામાં તમામ શક્ય સ્પર્શજ્યાની સમાવેશ થાય છે.

સમીકરણ ફે (x, y, z) = 0 સ્પર્શજ્યાની વિમાન સ્પર્શજ્યાની બિંદુ Mº સમીકરણથી માં (uº, hº, zº) હશે આ સપાટી સ્વરૂપ છે:

એફ _એક્સ (hº, uº, zº) (hº x) + F _એક્સ (hº, uº, zº) (uº વાય) + F _એક્સ (hº, uº, zº) (ઝેડ zº) = 0.

સપાટી નિશ્ચિતપણે z = f (x, y) પર સેટ કરેલી છે, તો પછી સ્પર્શજ્યાની વિમાન સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + F (hº, uº) (વાય uº).

બે વિમાનો આંતરછેદ

માં ત્રિપરિમાણીય જગ્યા એક સંકલન સિસ્ટમ (લંબચોરસ) Oxyz આપવામાં બે વિમાનો પી 'અને પી' કે પુનરાવર્તીત થાય છે અને નિમિત્તે નથી. કોઈપણ વિમાન, જે એક લંબચોરસ સંકલન વ્યવસ્થામાં સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે ત્યારથી, આપણે એમ માની લઈએ કે એ + B X '+ y' "= 0 અને A અને એન સમીકરણો A'x + V'u S'z + + D દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે" સાથે "z + D" = 0. આ કિસ્સામાં અમે વિમાન પી 'અને સામાન્ય n "(એક", બી ", સી") વિમાન પી' ધ સામાન્ય એન '(A', 'બી' ', સી') હોય છે. અમારા પ્લેન તરીકે પેરેલલ નથી અને મેળ નથી ખાતી નથી, તો પછી આ વેક્ટર્સ સમરેખ નથી. એન '≠ n "↔ (અ', 'બી' ', સી') ≠ (λ * અને" λ * "માં λ * સી"), λεR: ગણિતમાં ભાષાનો ઉપયોગ, અમે આ શરત તરીકે લખી શકાય છે. દો સીધી રેખા જે છેદન પી પર વસેલું છે ' "∩ પી અને પી, આ કિસ્સામાં એક = પી માં, અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે."

અને - એક રેખા બિંદુઓ (સામાન્ય) વિમાનો પી 'અને પી "ની બહુમતી સમાવેશ થાય છે. આનો અર્થ એ થાય કે રેખા સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બિંદુ ના કોઓર્ડિનેટ્સ, સાથોસાથ સમીકરણ A'x + V'u S'z + + D '= 0 અને એક "X + B + C Y" = 0 Z + D "સંતોષવા જ જોઈએ. આનો અર્થ એ કે યામ નીચેના સમીકરણો ચોક્કસ ઉકેલ હશે:

પરિણામ સમીકરણો આ સિસ્ટમ ઉકેલ (સરેરાશ) લાઇન જે છેદન પી 'અને પી "બિંદુ તરીકે કાર્ય કરશે પર પોઈન્ટ દરેક કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરશે, અને સિસ્ટમ Oxyz (લંબચોરસ) જગ્યા સંકલન રેખા નક્કી કરે છે.