ત્રિકોણ ના ખૂણા ની રકમ. ત્રિકોણ ના ખૂણા રકમ પર પ્રમેય

ત્રિકોણ બહુકોણ ત્રણ બાજુઓ (ત્રણ ખૂણા) ધરાવે છે. મોટે ભાગે, ભાગ અનુરૂપ મોટા અક્ષરોમાં, જે વિપરીત શિરોલંબ પ્રતિનિધિત્વ નાના અક્ષરો દ્વારા સૂચિત. આ લેખમાં આપણે ભૌમિતિક આકાર, પ્રમેય, કે જે વ્યાખ્યાયિત ત્રિકોણ શું કોણમાં રકમ બરાબર છે આ પ્રકારના પર એક નજર.

પ્રકાર સૌથી ખૂણા

ત્રણ શિરોલંબ સાથે બહુકોણનું નીચેના પ્રકારો:

• તીવ્ર-કોણ છે, જેમાં તમામ ખૂણા તીક્ષ્ણ હોય છે;
• લંબચોરસ એક કાટખૂણે હોય, બાજુ તે રચના, પગ તરીકે, અને બાજુ કે જમણી કોણ વિરુદ્ધ નિકાલ કરવામાં આવે, કર્ણરેખા કહેવામાં આવે છે;
• બૂઠું ત્યારે એક ખૂણો બૂઠું છે ;
• સમદ્વિબાજુ, જેની બે બાજુઓ સમાન છે, અને તેઓ બાજુની કહેવામાં આવે છે, અને ત્રીજા - એક ત્રિકોણ આધાર સાથે;
• સમભુજ ત્રણ સમાન બાજુઓ હોય છે.

ગુણધર્મો

ફાળવો મૂળભૂત ગુણધર્મો ત્રિકોણ દરેક પ્રકારની લાક્ષણિકતા છે:

• વિરુદ્ધ મહાન બાજુ હંમેશા વધારે ખૂણો, અને ઊલટું છે;
• સમાન સૌથી મોટો પક્ષ વિરુદ્ધ સમાન એંગલ, અને ઊલટું છે;
• કોઈપણ ત્રિકોણ બે તીવ્ર ખૂણા ધરાવે છે;
• કોઈપણ આંતરિક કોણ અડીને ન ત્યાંના કરતાં વધારે બાહ્ય કોણ;
• કોઈપણ બે અંતઃકોણોનો સરવાળો હંમેશા કરતાં ઓછી 180 ડિગ્રી છે;
• બહિષ્કોણ અન્ય બે ખૂણાઓ, જે તેની સાથે mezhuyut ન હોય રકમ સમકક્ષ હોય છે.

ત્રિકોણ ના ખૂણા રકમ પર પ્રમેય

પ્રમેય જણાવે છે કે જો તમે ભૌમિતિક આકાર, કે જે યુક્લિડીયન સમતલમાં સ્થિત છે તમામ ખૂણાઓ સુધી ઉમેરો, પછી તેમની રકમ 180 ડિગ્રી રહેશે. ચાલો આ પ્રમેય સાબિત કરવા પ્રયાસ કરીએ.

અમે એક મનસ્વી ત્રિકોણ શિરોલંબ KMN સાથે કરીએ. આખા એમ ટોચ પકડી કરશે લીટી સીધી સમાંતર KN (પછી ભલે આ રેખા યુક્લિડ કહેવાય છે). તે બિંદુ A એ નોંધવું જોઈએ કે જેથી પોઈન્ટ કેવલી અને રેખા MN વિવિધ પક્ષો તરફથી ગોઠવાયેલા હોય છે. અમે AMS અને MUF, એ જ ખૂણો જે આંતરિક જેમ કાટખૂણે છેદે આવેલા સીધી CN અને એમએ, જે સમાંતર હોય સાથે જોડાણમાં MN છેદતી રચના પર મેળવો. આના પરથી એવું ફલિત કે ત્રિકોણ, એમ અને એન શિરોબિંદુઓ સ્થિત કોણમાં રકમ CMA કોણ માપ સમાન છે. બધા ત્રણ ખૂણા રકમ KMA અને એમસીએસ કોણમાં રકમ બરાબર સમાવેશ થાય છે. ડેટા આંતરિક ખૂણા સંબંધિત બાજુ સમાંતર રેખાઓ Cl અને મુખ્યમંત્રી એમએ છેદતી છે, તેમના રકમ 180 ડિગ્રી છે. આ પ્રમેય સાબિત થાય છે.

પરિણામ

ઉપર પ્રમેય ઉપર સૂચિત નીચેના આનુષાંગિક: દરેક ત્રિકોણ બે તીવ્ર કોણ હોય છે. આ સાબિત કરવા માટે, અમને ધારે આ ભૌમિતિક આકૃતિ માત્ર એક તીવ્ર કોણ છે દો. તમે પણ ધારણ કરી શકે ખૂણા કે કંઈ તીક્ષ્ણ નથી. આ કિસ્સામાં તે ઓછામાં ઓછા બે ખૂણા, તીવ્રતા જે બરાબર અથવા 90 ડિગ્રી કરતા વધારે છે હોવી જોઈએ. પરંતુ પછી સરવાળો 180 ડિગ્રી કરતા વધારે છે. પરંતુ આ ન હોઈ શકે, કારણ કે એક ત્રિકોણ ના પ્રમેય રકમ ખૂણા અનુસાર 180 ° બરાબર છે - કોઈ વધુ ઓછા નં. શું સાબિત થયું કરવામાં આવી હતી છે.

સંપત્તિ બહાર ખૂણા

ત્રિકોણ ના ખૂણા, જે બાહ્ય છે સરવાળા શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ બે રીતે એક અરજી દ્વારા મેળવી શકાય છે. પ્રથમ એ છે કે તમે ખૂણા, જે પ્રત્યેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવે છે કે, ત્રણ ખૂણા રકમ શોધવા માટે જરૂર છે. બીજા અર્થ એવો થાય કે તમે શિરોબિંદુઓ ખાતે છ ખૂણા ની રકમ શોધવા માટે જરૂર છે. પ્રથમ મૂર્ત સ્વરૂપ શરૂઆત સાથે વ્યવહાર કરો. બે દરેક ટોચ પર - આમ, ત્રિકોણ છ બાહ્ય ખૂણા ધરાવે છે. દરેક જોડી, પોતાને વચ્ચે સમાન કોણ હોય છે કારણ કે તેઓ ઊભી થાય છે:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

વધુમાં, તે ઓળખાય છે કે જે ત્રિકોણ બાહ્ય ખૂણે બે આંતરિક, કે જે તેની સાથે mezhuyutsya નથી રકમ સમકક્ષ હોય છે. તેથી,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

આ પરથી એવું લાગે છે કે બહિષ્કોણ, જે પ્રત્યેક શિરોબિંદુ નજીક એક પછી એક લેવામાં આવે રકમ બરાબર હશે:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + ∟V ∟S = 2 X (∟A + ∟V ∟S +).

હકીકત એ છે કે સરવાળો 180 ડિગ્રી સમકક્ષ જોતાં, એવી દલીલ કરી શકાય કે ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. આ ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 ° થાય છે. બીજો વિકલ્પ વપરાય છે, તો છ ખૂણા ની રકમ બમણી સંલગ્ન વધારે હશે. ત્રિકોણ ના ખૂણા રકમ એટલે બહાર હશે:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 X (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

અધિકાર ત્રિકોણ

શું અધિકાર ત્રિકોણ ના ખૂણા રકમ બરાબર છે, ટાપુ છે? જવાબ પ્રમેય, કે જે કહે છે કે ત્રિકોણ ના ખૂણા 180 ડિગ્રી સુધી ઉમેરવા ફરી છે. એક અવાજ અમારા દાવો (મિલકત) નીચે મુજબ છે: એક જમણા ત્રિકોણ તીક્ષ્ણ ખૂણા 90 ડિગ્રી સુધી ઉમેરો. અમે તેના સચ્ચાઈ સાબિત. ત્યાં દો આપવામાં ત્રિકોણ KMN, જે ∟N = 90 ° છે. તે સાબિત કરે છે કે ∟K ∟M = + 90 ° જરૂરી છે.

આમ, ખૂણા ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° ના રકમ પર પ્રમેય અનુસાર. આ સ્થિતિ તે જણાવ્યું હતું કે ∟N = કે 90 ° છે. તે બહાર વળે ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. 90 ° = 90 ° - તે ∟K ∟M + = 180 ° છે. તે આપણે શું સાબિત કરવા જોઈએ છે.

અધિકાર ત્રિકોણ ઉપર ગુણધર્મો ઉપરાંત, તમે આ ઉમેરી શકો છો:

• ખૂણા, જે પગ સામે આવેલા તીક્ષ્ણ હોય છે;
• પગ કોઈપણ કરતાં વધારે ત્રિકોણાકાર ના કર્ણરેખા;
• પગ, કર્ણરેખા કરતાં વધુ રકમ;
• ત્રિકોણના પગ છે, કે જે 30 ડિગ્રી કોણ વિરુદ્ધ આવેલું, કર્ણરેખા અડધા, જે તેના અડધા બરાબર છે.

ભૌમિતિક આકાર અન્ય મિલકત તરીકે પાયથાગોરસનો પ્રમેય અલગ કરી શકાય છે. તેમણે દલીલ કરી હતી કે એક ત્રિકોણ 90 ડિગ્રી (લંબચોરસ) ના ખૂણા સાથે, પગ વર્ગોના સરવાળાના કર્ણરેખા ચોરસ સમકક્ષ હોય છે.

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ના ખૂણા રકમ

અગાઉ આપણે કહે છે કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ત્રણ શિરોલંબ સાથે બહુકોણ, બે સમાન બાજુઓ ધરાવતા હોય છે. આ મિલકત ભૌમિતિક આકૃતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે: તેના પાયામાં ખૂણા બરાબર છે. અમને આ સાબિત કરવા દો.

તેના બેઝ - ત્રિકોણ KMN, જે સમદ્વિબાજુ, એસસી છે લો. અમે તે ∟K = ∟N સાબિત કરવા જરૂરી છે. તેથી, ચાલો કે એમએ ધારે દો - KMN અમારા ત્રિકોણના દ્વિભાજક છે. ત્રિકોણ સમાનતા પ્રથમ સાઇન ઇન સાથે આઈ.સી. ત્રિકોણ MNA છે. જેમ કે, તે પૂર્વધારણાને દ્વારા આપવામાં મુખ્યમંત્રી = એનએમ, એમએ એક સામાન્ય બાજુ છે, ∟1 = ∟2, કારણ કે એમએ - આ દ્વિભાજક. બે ત્રિકોણ સમાનતા મદદથી, એક દલીલ કરી શકે છે ∟K = ∟N. તેથી, સિધ્ધાંતે સિધ્ધ કર્યું છે.

પરંતુ અમે રસ છે, શું ત્રિકોણ (સમદ્વિબાજુ) ના ખૂણા સરવાળો છે. કારણ કે આ સંદર્ભમાં તેની લક્ષણો ધરાવતું નથી, અમે પ્રમેય અગાઉ ચર્ચા શરૂ કરશે. કે અમે કહી શકો છો, કે ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, અથવા 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N તરીકે). આ મિલકત સાબિત નહીં કારણ કે ત્રિકોણ ના ખૂણા રકમ પર પ્રમેય અગાઉ સાબિત થયું હતું.

ત્રિકોણ ના ખૂણા ગણવામાં ગુણધર્મો સિવાય, ત્યાં પણ આવા મહત્વપૂર્ણ નિવેદનો છે:

• માં એક સમભુજ ત્રિકોણ ઊંચાઇ, જે આધાર ઘટાડીને કરવામાં આવી હતી, સાથોસાથ કોણ છે કે જે સમાન બાજુઓ અને વચ્ચે હોય છે સરેરાશ દ્વિભાજક છે સમપ્રમાણતા ધરી તેના આધાર;
• મધ્ય (દ્વિભાજક ઊંચાઇ), જે ભૌમિતિક આકૃતિ બાજુઓ રાખવામાં આવે છે, સમાન હોય છે.

સમભુજ ત્રિકોણ

તે પણ યોગ્ય કહેવાય છે, ત્રિકોણ, જે તમામ પક્ષોને સમાન હોય છે. અને તેથી પણ સમાન અને ખૂણા. તેમને દરેક 60 ડીગ્રી છે. અમને આ મિલકત સાબિત કરીએ.

અમને ધારણ ત્રિકોણ KMN છે કે અમે દો. અમે કેએમ = એચએમ = કેએચ જાણો છો. આ અર્થ થાય છે, એક સમભુજ ત્રિકોણ ∟K = ∟M = ∟N માં આધાર પર સ્થિત ખૂણા મિલકત જણાવ્યું હતું. છે, કારણ કે એક ત્રિકોણ પ્રમેય ∟K + ∟M ∟N કોણમાં રકમ અનુસાર + = 180 °, પછી x 3 = 180 ° ∟K અથવા ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. આમ, દાવા સાબિત કરી છે. ઉપર ઉપર પ્રમેય પર આધારિત પુરાવા પરથી જોવા મળે છે, ખૂણા રકમ એક સમભુજ ત્રિકોણ છે, અન્ય કોઇ ત્રિકોણ કોણમાં સરવાળા સ્વરૂપે 180 ડિગ્રી છે. ફરીથી આ પ્રમેય સાબિત જરૂરી નથી.

ત્યાં હજી પણ કેટલીક મિલકતો એક સમભુજ ત્રિકોણ લાક્ષણિકતા છે:

• એક ભૌમિતિક આકૃતિ મધ્ય દ્વિભાજક ઊંચાઈ સમાન છે, અને તેમના લંબાઈ તરીકે (એક એક્સ √3) ગણવામાં આવે છે: 2;
• આ બહુકોણ વર્તુળ પરિગત, તો પછી ત્રિજ્યા (અ X √3) સમાન હશે: 3;
• જો એક વર્તુળ સમભુજ ત્રિકોણ માં ઉત્કીર્ણ, તેના ત્રિજ્યા (એક એક્સ √3) હશે: 6;
• (A2 એક્સ √3): ભૌમિતિક આકૃતિ વિસ્તાર સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે 4.

બૂઠું ત્રિકોણ

વ્યાખ્યા દ્વારા, એક ગુરુત્રિકોણ, તેના ખૂણા એક 90 180 ડિગ્રી વચ્ચે હોય છે. પરંતુ હકીકત એ ભૌમિતિક આકાર તીક્ષ્ણ અન્ય બે ખૂણા, તે તારણ કાઢ્યું શકાય છે કે તેઓ 90 ડિગ્રી વધી નથી આપવામાં આવે છે. તેથી, ત્રિકોણ પ્રમેય કોણમાં રકમ એક બૂઠું ત્રિકોણ ખુણાઓ રકમ ગણતરી કામ કરે છે. તેથી, અમે સુરક્ષિત રીતે ઉપર પ્રમેય કે ત્રિકોણના બૂઠું અંતઃકોણોનો સરવાળો 180 ડિગ્રી પર આધારિત છે, અને કહી શકો છો. ફરીથી, આ પ્રમેય ફરી સાબિતી જરૂર નથી.