ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ

ફોરિયર રૂપાંતરણ - રૂપાંતર, વાસ્તવિક ચલ ચોક્કસ કાર્ય સંલગ્ન થાય છે. આ ઓપરેશન દર વખતે અમે અલગ અવાજો સાબિત કરવામાં આવે છે. કાન ઓટોમેટિક "ગણતરી", જે માત્ર ઉચ્ચ ગણિત વિભાગ પરિક્ષણ પછી અમારા સભાનતા કરી શકો છો પરિપૂર્ણ પેદા કરે છે. માનવ રૂપાંતર અંગ સુનાવણી સર્જન છે, જેમાં અવાજ (એક ઈલાસ્ટીક માધ્યમમાં કણો, જે ઘન પ્રવાહી કે વાયુ માધ્યમ તરંગ ફોર્મ પ્રચાર પરંપરાગત vibrational ગતિ) વિવિધ ઊંચાઈ ટોન વોલ્યુમ સ્તર સતત મૂલ્યોની શ્રેણી માં પૂરી પાડવામાં આવે છે. આ પછી, મગજ બધા પરિચિત અવાજ કે માહિતી કરે છે.

મેથેમેટિકલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ

(પ્રકાશ સ્ત્રાવ અને દરિયાની ભરતી અને તારાકીય અથવા સૌર ચક્ર કરવા માટે) કરી શકાય છે અને ગાણિતિક પદ્ધતિઓ અર્થ દ્વારા અવાજ મોજા અથવા અન્ય સ્પંદન પ્રક્રિયાઓ રૂપાંતરણ. આમ, આ તકનીકો ઉપયોગ કરીને, કાર્યો vibrational પ્રક્રિયાઓ sinusoidal ઘટકો, એટલે ઊંચુંનીચું થતું વણાંકો જે ઓછામાં ઓછા ફરી મહત્તમ લઘુતમ જાઓ અને પછી દરિયાની તરંગ જેવા સેટ રજૂ દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ફોરિયર રૂપાંતરણ - રૂપાંતર કાર્ય જેમાં તબક્કા અથવા દરેક sinusoid ત્યારે નિશ્ચિત ફ્રિક્વન્સી અનુરૂપ મોકળાશ વર્ણવે છે. તબક્કો વળાંક, અને કંપનવિસ્તાર એક શરૂ બિંદુ છે - તેની ઉંચાઈ છે.

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (ઉદાહરણો ફોટામાં બતાવવામાં આવે છે) અત્યંત શક્તિશાળી સાધન છે, જે વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ થાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તે એક ઉકેલ તરીકે બદલે જટિલ સમીકરણો જે પ્રકાશ, ગરમી અથવા ઇલેક્ટ્રીકલ ઊર્જા પ્રભાવ હેઠળ બનતું ગતિશીલ પ્રક્રિયાઓ વર્ણવે વપરાય છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, તે તમને, જટિલ તરંગસ્વરૂપની નિયમિત ઘટકો વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે આ કારણે રસાયણશાસ્ત્ર, દવા અને ખગોળશાસ્ત્ર વિવિધ પ્રાયોગિક અવલોકનો માટે સ્પષ્ટતા અર્થઘટન સાચું હોઈ શકે પરવાનગી આપે છે.

ઐતિહાસિક માહિતી

પ્રથમ વ્યક્તિ આ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી Zhan Batist Fure હતી. રૂપાંતરણ, ત્યારબાદ તેમના નામની પાછળ અપાયું છે, જે મૂળે ગરમી વહન પદ્ધતિ વર્ણવવા માટે ઉપયોગ થતો હતો. તેમના સમગ્ર પુખ્ત ગરમી ગુણધર્મોનો અભ્યાસ રોકાયેલા જીવન ફોરિયર. તેમણે બીજગણિતીય સમીકરણો મૂળિયા નિર્ધારણમાં ના ગાણિતિક સિદ્ધાંત એક પ્રચંડ ફાળો આપ્યો હતો. ફોરિયર ઈકોલ Polytechnique ઇજિપ્તોલોજીના ઇન્સ્ટિટ્યુટ ઓફ સેક્રેટરી ખાતે વિશ્લેષણ પ્રોફેસર હતા, શાહી સેવા છે, કે જે (તેમના નેતૃત્વ હેઠળ malarial ભેજવાળી પોચી જમીન કરતાં વધુ 80 હજાર ચોરસ કિલોમીટર હતાશ હતી) તુરિન માટે રસ્તાના બાંધકામ સમયે એક જગાડવો કારણે કરવામાં આવી હતી. જોકે, આ બધા સક્રિયતા ગાણિતિક વિશ્લેષણ રોકાયેલા વૈજ્ઞાનિક બંધ ન હતી. 1802 માં તે એક સમીકરણ કે ઘન ગરમી પ્રચાર વર્ણવે લેવામાં આવ્યું છે. 1807 માં, વૈજ્ઞાનિક આ સમીકરણ છે, કે જે "ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ" તરીકે જાણીતો બન્યો ઉકેલવા માટેની એક પદ્ધતિ શોધી કાઢી હતી.

થર્મલ વાહકતા વિશ્લેષણ

સંશોધકોએ એક ગાણિતિક પદ્ધતિ વપરાય ગરમી વહન પદ્ધતિ વર્ણવે છે. એક અનુકૂળ ઉદાહરણ છે, જેમાં ગણતરી કોઈ મુશ્કેલી લોખંડ રિંગ દ્વારા થર્મલ ઊર્જા પ્રસરણ છે, એક ભાગ આગ ડૂબી. હાથ ધરવા માટેના પ્રયોગો રિંગ લાલ ગરમ ભાગ ફોરિયર અને દંડ રેતી તેને દફનાવી. ત્યારબાદ, તાપમાન માપદંડો તેના વિરુદ્ધ ભાગ પર હાથ ધરવામાં. શરૂઆતમાં, ગરમી વિતરણ અનિયમિત હોય છે: રિંગ ભાગ - ઠંડા, અને અન્ય - એક તીક્ષ્ણ ઉષ્ણતામાનની માત્રાનું ગરમ, વિસ્તાર વચ્ચે તેણી અવલોકન કરી શકો છો. જોકે, મેટલ સપાટી પર ગરમી વિતરણ દરમિયાન તે વધુ એકસમાન બની જાય છે. તેથી, ટૂંક સમયમાં, આ પ્રક્રિયા એક સાઈન તરંગ સ્વરૂપ લે છે. પ્રથમ ગ્રાફ ધીમે ધીમે વધે છે અને એ પણ સરળતાથી ચોક્કસ કોટિજ્યા અથવા સાઈન કાર્ય વિવિધતા કાયદા ઘટે. વેવ ધીમે ધીમે બરાબરી અને પરિણામે તાપમાન રિંગ સમગ્ર સપાટી પર સમાન બની જાય છે.

આ પદ્ધતિ લેખક માનવામાં આવે છે કે પ્રારંભિક વિતરણ તદ્દન અનિયમિત પ્રાથમિક સાઈન મોજા એક નંબર વિઘટિત કરી શકાય છે. તેમને દરેક તેના કળા (પ્રારંભિક સ્થિતિ) અને તેની મહત્તમ તાપમાન હોય છે. આમ મહત્તમ અને એક ઓછામાં ઓછા દરેક જેમ ઘટક ફેરફાર રિંગ પૂર્ણાંક વખત આસપાસ ક્રાંતિ પૂર્ણ કરવા માટે. ઘટક સમયગાળા જે મૂળભૂત હાર્મોનિક તરીકે ઓળખાતું હતું, અને બે અથવા વધુ સમયગાળા સાથે કિંમત કર્યા - બીજા અને તેથી પર. ઉદાહરણ તરીકે, એક ગાણિતિક કાર્ય કે મહત્તમ તાપમાન વર્ણવે છે, તબક્કો અથવા સ્થિતિ ફોરિયર વિતરણ કાર્ય પરિવર્તન કહેવાય છે. , સાઈન અને કોટિજ્યા પંક્તિઓને પ્રારંભિક વિતરણ આપવાની રકમ - સાયન્ટિસ્ટ એક ઘટક કે ગાણિતિક વર્ણન કરવું મુશ્કેલ છે, સરળ-થી-ઉપયોગ સાધનો માટે લાવવામાં આવ્યા હતા.

વિશ્લેષણ સાર

ઘન પદાર્થ પર ગરમી વિતરણ રૂપાંતર કરવા માટે આ વિશ્લેષણ અરજી, એન્યુલર આકાર કર્યા, એક ગણિતશાસ્ત્રી કે sinusoidal ઘટકો સમયગાળા વધી તેના ઝડપી ભીનાશ તરફ દોરી તર્ક. આ સ્પષ્ટપણે મુખ્ય અને બીજા હાર્મોનિક્સ પર જોવામાં આવે છે. અંતિમ તાપમાન એક પાસ બે વખત મહત્તમ અને લઘુત્તમ કિંમતો પહોંચે છે, અને પ્રથમ - માત્ર એક જ વાર. તે બહાર વળે અંતર બીજા હાર્મોનિક ગરમી દ્વારા પ્રવાસ કરે છે કોર અડધા છે. વધુમાં, બીજા પખવાડિયાના ઢોળાવ પણ પ્રથમ કરતાં steeper હશે. તેથી, કારણ કે વધુ તીવ્ર થર્મલ પ્રવાહ વિધવા ન્યૂનતમ અંતર પસાર, તો પછી આ હાર્મોનિક ચાર વખત મુખ્ય કરતા ઝડપી ભીનાશવાળું કરવામાં આવશે, સમય એક કાર્ય તરીકે. પ્રક્રિયા નીચેના વધુ ઝડપી હશે. ગણિતશાસ્ત્રી માનવામાં આવે છે કે આ પદ્ધતિ અમને સમય સાથે બદલાતા તાપમાનના પ્રારંભિક વિતરણ પ્રક્રિયા ગણતરી કરવા પરવાનગી આપે છે.

કૉલ સમકાલિન

ફોરિયર અલ્ગોરિધમનો પરિવર્તન સમયે ગણિત સૈદ્ધાંતિક સંસ્થાઓને એક પડકાર બની ગયું છે. શરૂઆતમાં ઓગણીસમી સદીમાં, લાગ્રાન્જ, Laplace, પોઇસન, Legendre અને Biot સહિત સૌથી અગ્રણી વૈજ્ઞાનિકો, તેમના દાવા કે પ્રારંભિક વિતરણ તાપમાન મૂળભૂત તરંગ અને ઉચ્ચતર આવૃત્તિ સ્વરૂપમાં ઘટકો વિઘટિત છે સ્વીકારી ન હતી. જોકે, સાયન્સ એકેડેમી મેળવી ગણિતશાસ્ત્રી પરિણામો અવગણો કરી શક્યું નથી, અને તેની કાયદાઓ ગરમી વહન થિયરીને પ્રાઇઝ એનાયત કરવામાં આવ્યો, તેમજ ભૌતિક પ્રયોગો સાથે તેની સરખામણી કરવા. ફોરિયર ખ્યાલમાં મુખ્ય વાંધો એ છે કે એક વિરત કાર્ય અનેક sinusoidal કાર્યો, કે જે સતત છે રકમ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. બધા પછી, તેઓ સીધા છલકાતું અને વક્ર રેખાઓ વર્ણવે છે. સમકાલીન વૈજ્ઞાનિક આવા પરિસ્થિતિ આવી ન હતી ત્યારે વિરત કાર્યો જેમ કે, વર્ગના રેખીય, સાઈન અથવા પ્રદર્શક તરીકે, સતત સંયોજન દ્વારા વર્ણવી હતી. ઘટના કે ગણિતશાસ્ત્રી તેમના દાવા અધિકાર હતો, ત્રિકોણમિતિ કાર્યો એક અનંત શ્રેણી રકમ ચોક્કસ ઝડપ સુધી મર્યાદિત હોવી જોઈએ. જ્યારે આવા દાવો વાહિયાત લાગતું હતું. તેમ છતાં, કેટલાંક સંશોધકોએ (દા.ત. ક્લાઉડ Navier, Sofi Zhermen) ની શંકા હોવા છતાં સંશોધન વ્યાપરક અને તેમને ગરમી વિતરણ વિશ્લેષણ બહાર લાવવામાં આવ્યા હતા. ગણિતના દરમિયાન, અનેક sinusoidal કાર્યો રકમ તૂટવાને એક ચોક્કસ રજૂઆત થઇ શકે છે કે કેમ તે પ્રશ્ન સહન કરવાનું ચાલુ રાખ્યું.

200 વર્ષના ઇતિહાસમાં

આ સિદ્ધાંત બે સદીઓથી વિકાસ થયો છે, આજે છેલ્લે રચાયેલી છે. અવકાશી અથવા દુન્યવી કાર્યો ની મદદ સાથે sinusoidal ઘટકો આવર્તન, તબક્કો અને કંપનવિસ્તાર છે કે તોડવામાં આવે છે. આ રૂપાંતર બે અલગ અલગ ગાણિતિક પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવી શકાય છે. તેમને પ્રથમ કેસ વપરાય છે ત્યારે સ્ત્રોત સતત કાર્ય, અને બીજા છે - કેસ જ્યાં તે અલગ વ્યક્તિગત ફેરફારો બહુમતી દ્વારા પ્રસ્તુત કરવામાં આવે છે. મૂળભૂત ઉપર સૌથી નીચો અને પછી બમણી ત્રણ ગણો છે, અને તેથી આગળ - અભિવ્યક્તિ મૂલ્યો, જે અલગ અંતરાલે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે મેળવી છે, તો તે અનેક સ્વતંત્ર sinusoidal ફ્રીક્વન્સીઝ અભિવ્યક્તિઓ વિભાજિત કરી શકાય છે. આ રકમ કહેવાય છે ફોરિયર શ્રેણી. પ્રારંભિક અભિવ્યક્તિ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાની કિંમત સુયોજિત હોય, તો તે બહુવિધ sinusoidal તમામ શક્ય ફ્રીક્વન્સીઝ વિભકત કરી શકાય છે. તે ફોરિયર અભિન્ન કહેવામાં આવે છે, અને નિર્ણય અભિન્ન કાર્ય એક રૂપાંતર થાય છે. તેને ધ્યાનમાં લીધા વગર દરેક આવર્તન માટે, પરિવર્તન મેળવવા બે સંખ્યાઓનો સૂચવી જોઈએ પદ્ધતિ: કંપનવિસ્તાર અને આવર્તન. આ કિંમતો એક સિંગલ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જટિલ સંખ્યા. એકસાથે ફોરિયર રૂપાંતરણ સાથે અભિવ્યક્તિ જટિલ વેરિયેબલ્સ સિદ્ધાંત ગણતરીઓ કરવા માટે વિવિધ ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટ ડિઝાઇન પરવાનગી આપે છે, યાંત્રિક સ્પંદનો વિશ્લેષણ તરંગ પ્રચાર પદ્ધતિ અને અન્ય અભ્યાસ થાય છે.

ફોરિયર આજે પરિવર્તન

આજકાલ, આ પ્રક્રિયાના અભ્યાસ મૂળભૂત કાર્ય માંથી સંક્રમણ માટે અસરકારક પદ્ધતિઓ શોધવામાં મન તે પાછા રૂપાંતરિત કરવા માટે નીચે ઉકળે. આ ઉપાય કહેવામાં આવે છે સીધા અને વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. તે શું અર્થ છે? ક્રમમાં કરવા માટે અભિન્ન નક્કી અને સીધો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરવા માટે, તમે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ વાપરી શકો છો, પરંતુ તમે વિશ્લેષણાત્મક કરી શકો છો. હકીકત એ છે કે જ્યારે તેઓ વ્યવહારમાં ઉપયોગ થાય છે ત્યાં કેટલીક મુશ્કેલીઓ છે છતાં, સૌથી પૂર્ણાંકો પહેલેથી જોવા મળે છે અને ગાણિતિક હેન્ડબુક દાખલ કરવામાં આવી છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ ની મદદ ગણી શકાય અભિવ્યક્તિઓ સાથે, જે આકાર પ્રાયોગિક માહિતી, કાર્ય જેની કોષ્ટકોમાં પૂર્ણાંકો ખૂટે છે પર આધારિત છે, અને તેઓ એક વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં કલ્પના મુશ્કેલ છે.

કમ્પ્યુટર એન્જિનિયરિંગ ગણતરીઓની આગમન જેમ પરિવર્તન ખૂબ કંટાળાજનક કરવામાં આવી છે તે પહેલાં, તેઓ પોઇન્ટ્સ કે તરંગ કાર્ય વર્ણવે સંખ્યા પર આધાર રાખે છે તેવી એરિથમેટિક કામગીરીનો મોટી સંખ્યામાં જાતે અમલ જરૂરી છે. આજે સમાધાન સરળતા માટે, ખાસ કાર્યક્રમો, નવા અમલમાં કરવાની મંજૂરી હોય છે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ. તેથી, 1965 માં, Dzheyms Kuli અને Dzhon Tyuki સોફ્ટવેર કે "ફાસ્ટ ફોરિયર રૂપાંતરણ" જાણીતું બન્યું બનાવી. તે વળાંક વિશ્લેષણ ગુણાકાર સંખ્યા ઘટાડવા દ્વારા ગણતરી સમય બચાવે છે. "ફાસ્ટ ફોરિયર રૂપાંતરણ" પદ્ધતિ એકસમાન નમૂના કિંમતો મોટી સંખ્યામાં કે વળાંક વિભાજન પર આધારિત છે. તદનુસાર, ગુણાકાર સંખ્યા પોઇન્ટ્સની સંખ્યાના ઘટાડવા જ અડધા ઘટાડો થાય છે.

અરજી ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ

આ પ્રક્રિયા વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ થાય છે: માં નંબર થીયરી, ભૌતિકશાસ્ત્ર, સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ, કોમ્બિનેટોરિક્સ, સંભાવના સિદ્ધાંત, ક્રિપ્ટોગ્રાફી, આંકડા, ઓશનોગ્રાફી, ઓપ્ટિક્સ, શ્રવણેન્દ્રિય, અને અન્ય ભૌમિતિક. તેના ઉપયોગ માટે રીચ શક્યતાઓ ઉપયોગી લક્ષણો છે, કે જે કહેવામાં આવે છે એક નંબર પર આધારિત છે "ફોરિયર રૂપાંતરણ ગુણધર્મો." તેમને પરીક્ષણ કરીએ.

1. રૂપાંતર કાર્ય રેખીય ઓપરેટર છે અને અનુરૂપ નોર્મલાઇઝેશન એકાત્મક છે. આ મિલકત કે Parseval પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે, સામાન્ય સંજોગોમાં, પ્રમેય Plansherelja અથવા Pontrjagin દ્વૈતવાદ.

2. રૂપાંતર ઉલટાવી શકાય તેવું છે. વધુમાં, વિપરીત પરિણામ સીધી સંબોધન તરીકે નોંધપાત્ર સમાન આકાર છે.

3. sinusoidal મૂળભૂત હાવભાવ પોતાના વિવિધ કાર્યો કરે છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે આવા પ્રતિનિધિત્વ ફેરફારો રેખીય સમીકરણો પરંપરાગત બીજગણિતીય સતત સહગુણાંકો સાથે.

4. "ગૂંચળું" પ્રમેય મુજબ, પ્રક્રિયા પ્રાથમિક ગુણાકાર એક જટિલ કામગીરી કરે છે.

5. ડિસક્રિટ ફોરિયર રૂપાંતરણ ઝડપથી "ઝડપી" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને એક કમ્પ્યુટર પર રચાયેલ કરી શકાય છે.

ફોરિયર ઓફ ભિન્નતા પરિવર્તન

1. સૌથી વારંવાર શબ્દનો સતત પરિવર્તન સંદર્ભ માટે, ચોક્કસ કોણીય ફ્રીક્વન્સીઝ અને કંપન સાથે જટિલ ઘાતાંકીય અભિવ્યક્તિ રકમ કોઇ quadratically integrable અભિવ્યક્તિ પૂરી પાડે વપરાય છે. આ પ્રજાતિ અનેક વિવિધ સ્વરૂપો છે, જે અલગ અલગ સતત સહગુણાંકો હોઇ શકે છે. સતત પદ્ધતિ રૂપાંતર ટેબલ, ગાણિતિક હેન્ડબુક માં શોધી શકાય છે કે જે કરે છે. સાર્વત્રિક કેસ આંશિક રૂપાંતરણ છે, જેમાં આ પ્રક્રિયા ઇચ્છિત વાસ્તવિક ઘાતાંક શકાય છે.

2. સતત પદ્ધતિ કોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત ફોરિયર શ્રેણી અગાઉ ટેકનિક એક સામાન્યીકરણ છે સામયિક કાર્યો કે અભિવ્યક્તિઓ, કે જે મર્યાદિત વિસ્તાર માં અસ્તિત્વમાં છે અને તેમને sinusoids શ્રેણી તરીકે રજૂ કરે છે.

3. ડિસક્રિટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. આ પદ્ધતિ વૈજ્ઞાનિક ગણતરી અને ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ કમ્પ્યુટિંગ ઉપયોગ થાય છે. ગણતરી આ પ્રકારની હાથ ધરવા માટે વ્યક્તિગત બિંદુઓ, સામયિક અથવા મર્યાદિત પ્રદેશ બદલે સતત ફોરિયર પૂર્ણાંકો એક સ્વતંત્ર સેટ પર નક્કી એક કાર્ય હોય જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં સિગ્નલ રૂપાંતર sinusoids રકમ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. "ઝડપી" પદ્ધતિ ઉપયોગ તમામ વ્યવહારુ હેતુથી માટે ડિજિટલ ઉકેલો ઉપયોગ પરવાનગી આપે છે.

4. વિન્ડો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ક્લાસિક પદ્ધતિ એક સામાન્ય દૃશ્ય છે. ધોરણ ઉકેલો જ્યારે સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ ઉપયોગ થાય છે, જે આ ચલ અસ્તિત્વ સંપૂર્ણ શ્રેણી લેવામાં આવે છે વિપરીત અહીં ખાસ રસ છે માત્ર સ્થાનિક આવર્તન વિતરણ મૂળ ચલ (સમય) જાળવી રાખે છે છે.

5. બે પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. આ પદ્ધતિ માહિતી બે પરિમાણીય એરે સાથે કામ કરવા માટે વપરાય છે. અન્ય - જેમ કિસ્સામાં, રૂપાંતર એક દિશામાં કરવામાં આવે છે, અને પછી.

નિષ્કર્ષ

આજે, ફોરિયર પદ્ધતિ નિશ્ચિતપણે વિજ્ઞાન વિવિધ ક્ષેત્રોમાં આરોગતા દર્શાવાયા છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1962 માં તે ડીએનએ ડબલ હેલિક્સ એક્સ-રે વિવર્તન સાથે જોડાણમાં ફોરિયર વિશ્લેષણ મદદથી આકાર ખોલ્યું. તાજેતરના સ્ફટિકો ડીએનએ રેસા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું, એક છબી છે જે વિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, ફિલ્મ રેકોર્ડ પરિણમે છે. આ ચિત્ર ફોરિયર આ સ્ફટિક માળખું પરિવર્તન ઉપયોગ કરીને કંપનવિસ્તાર કિંમત વિશે જાણકારી આપી હતી. તબક્કો માહિતી કાર્ડ કે સમાન રાસાયણિક માળખાં વિશ્લેષણ મેળવવામાં આવે સાથે ડીએનએ વિવર્તન કાર્ડ સરખામણી કરીને મેળવી. પરિણામે, જીવવિજ્ઞાનીઓ સ્ફટિક માળખું પુનઃસ્થાપિત - મૂળ કાર્ય.

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ બાહ્ય અવકાશમાં સેમિકન્ડક્ટર સામગ્રી અને પ્લાઝ્મા, માઈક્રોવેવ ધ્વનિવિજ્ઞાન, ઓશનોગ્રાફી, રડાર, સિસ્મોલોજી અને તબીબી પરીક્ષણોનો ભૌતિકશાસ્ત્ર અભ્યાસમાં એક વિશાળ ભૂમિકા ભજવે છે.