ક્રામેર માતાનો નિયમ અને તેની અરજી

ક્રામેર માતાનો નિયમ - નિરાકરણ માટે ચોક્કસ પદ્ધતિઓ પૈકી એક છે રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણો (Slough) ના સિસ્ટમો. તેની સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક ઉપયોગને કારણે ચોકસાઈ, તેમજ પ્રમેય સાબિતી લદાયો પ્રતિબંધના કેટલાક તરીકે.

સહગુણાંકો જોડાયેલા સાથે રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે, ઉદાહરણ તરીકે, આર બહુમતી - અજ્ઞાત x1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, એકસ 2, ..., XN અભિવ્યક્તિઓ એક સંગ્રહ છે

ai2 x1 + ai2 x2 + ... આઈ XN = સાથે બાઇ હું = 1, 2, ..., એમ, (1)

જ્યાં aij, બે - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. આ અભિવ્યક્તિઓ દરેક કહેવામાં આવે છે રેખીય સમીકરણ અજ્ઞાત સહગુણાંકો, બે - - સમીકરણો સ્વતંત્ર સહગુણાંકો aij.

(1) ઉકેલ એન-પરિમાણિય વેક્ટર ઓળખવામાં એક્સ ° = (એકસ 1 °, એકસ 2 °, ..., XN °), જે અજ્ઞાત x1 માટે સિસ્ટમ માં અવેજી ખાતે, x2, ..., XN, સિસ્ટમ રેખાઓ દરેક શ્રેષ્ઠ સમીકરણ બને .

સિસ્ટમ સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે, અને અસંગત, જો તે ખાલી સેટ ઉકેલ સમૂહ સાથે એકરુપ હોય છે.

તે યાદ રાખવું જોઈએ કે હુકમ રેખીય સમીકરણો ક્રામેર પદ્ધતિ મદદથી સિસ્ટમો ઉકેલો શોધવા માટે, મેટ્રિક્સ સિસ્ટમો, ચોરસ હોઈ જે મૂળભૂત અજ્ઞાત અને સિસ્ટમમાં સમીકરણો જ નંબર એનો અર્થ એ થાય છે.

તેથી, ક્રામેર પદ્ધતિ વાપરવા માટે, તમારે ઓછામાં ઓછા જાણવું જોઈએ શું મેટ્રિક્સ છે રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ, અને તે આપવામાં આવી છે. અને બીજું, તે સમજવા માટે શું મેટ્રિક્સ અને ગણતરીની તેના પોતાના કુશળતા નિર્ણાયક તરીકે ઓળખાય છે.

અમને ધારે છે કે આ જ્ઞાન તમે ધરાવે દો. વન્ડરફુલ! પછી તમે ફક્ત ક્રેમર પદ્ધતિ નક્કી સૂત્રો યાદ હોય છે. યાદ નીચેની નોટેશનમાં ઉપયોગ સરળ કરવા માટે:

• ડેટ - સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ મુખ્ય નિર્ણાયક;

• deti - મેટ્રિક્સ એક કૉલમ વેક્ટર જેની તત્વો રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણો જમણી બાજુ છે મેટ્રિક્સ આઇ મી સ્તંભ બદલીને સિસ્ટમ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ મેળવવામાં આવેલી નિર્ણાયક છે;

• n - અજ્ઞાત અને સિસ્ટમમાં સમીકરણો સંખ્યા.

પછી ક્રામેર માતાનો નિયમ ગણતરી આઇ મી ઘટક ઈલેવન (હું = 1, .. એન) એન-પરિમાણિય વેક્ટર એક્સ તરીકે લખી શકાય છે

XI = deti / ડેટ, (2).

આ કિસ્સામાં, ડેટ કડક શૂન્યથી અલગ છે.

સિસ્ટમ ઉકેલ વિશિષ્ટતા જ્યારે તે સંયુક્ત રીતે શૂન્ય તંત્રના બે મુખ્ય નિર્ણાયક ના અસમાનતા શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે. નહિંતર, જો (xi) ની રકમ, સ્ક્વેર્ડ, સખત હકારાત્મક હોય, તો પછી SLAE એક ચોરસ મેટ્રિક્સ અશક્ય છે. આ ચોક્કસ ત્યારે ઓછામાં ઓછા deti નોનઝીરો એક થઇ શકે છે.

ઉદાહરણ 1. ક્રામેર માતાનો સૂત્ર ઉપયોગ કરીને ત્રિપરિમાણીય લાઉ સિસ્ટમ ઉકેલવા માગે છે.
2 એકસ 1 + x2 + એકસ 3 = 31 4,
5 એકસ 1 + x2 2 + એકસ 3 = 29,
3 એકસ 1 - એકસ 2 + એકસ 3 = 10.

નિર્ણય. મેટ્રિક્સ આઇ મી પંક્તિ છે - અમે રેખા દ્વારા સિસ્ટમ લાઇન, જ્યાં અઇ મેટ્રિક્સ નીચે લખો.
A1 = (1 2 4), 2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
કૉલમ મફત સહગુણાંકો b = (31 ઓક્ટોબર 29).

મુખ્ય સિસ્ટમ નિર્ણાયક ડેટ છે
ડેટ = A11 A22 a33 + A12 A23 a31 + a31 A21 a32 - A13 A22 a31 - A11 a32 A23 - a33 A21 એ 12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

મદદથી A11 = બી 1, A21 = B2, a31 = B3 det1 ક્રમચય ગણતરી કરવાની છે. પછી
det1 = બી 1 A22 a33 + A12 A23 B3 + a31 B2 a32 - A13 A22 B3 - B1 a32 A23 - a33 B2 A12 = ... = -81.

એ જ રીતે, det2 ઉપયોગ અવેજી A12 = બી 1, A22 = B2, a32 = B3 ગણતરી, અને તે અનુસાર, det3 ગણતરી - A13 = બી 1, A23 = B2, a33 = B3.
135 - પછી તમે તે det2 = -108, અને det3 = તપાસી શકો છો.
સૂત્રો અનુસાર ક્રામેર શોધવા x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, એકસ 3 = -135 / (- 27) = 5.

જવાબ: X ° = (3,4,5).

આ નિયમ લાગુ પર આધાર, ક્રેમર ઉકેલવા રેખીય સમીકરણોનું સિસ્ટમો પદ્ધતિ પેરામીટર K કિંમત પર આધાર રાખીને ઉકેલો શક્ય નંબર પર સિસ્ટમ તપાસ કરવા માટે આડકતરી વાપરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે,.

+ | | X + KY +4 | <= 0 એક ઉકેલ બરાબર છે - - વાય 4 KX | ઉદાહરણ 2. પરિમાણ K અસમાનતા શું મૂલ્યોમાં નક્કી કરો.

નિર્ણય.
મોડ્યુલ કાર્ય વ્યાખ્યા દ્વારા આ અસમાનતા, માત્ર કરી શકાય છે જો બંને હાવભાવ શૂન્ય સાથે છે. તેથી, આ સમસ્યા રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોના ઉકેલ શોધવામાં થઇ શકે છે

KX - વાય = 4,
x + KY = -4.

આ સિસ્ટમ ઉકેલ માત્ર જો તે મુખ્ય પરિબળ છે
ડેટ = k ^ {2} + 1 નોનઝીરો છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આ સ્થિતિ પરિમાણ K તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે સંતોષ છે.

જવાબ: પરિમાણ K તમામ વાસ્તવિક કિંમતો છે.

આ પ્રકારના હેતુઓ પણ ક્ષેત્રમાં ઘણા વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઘટાડી શકાય ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર કે રસાયણશાસ્ત્ર.